推杆减速机从优研讨与实际运用

推杆活齿减速机是一种新型的少齿差行星传动装置，由于其推杆结构成功地解决了输入轴与输出轴同轴的问题，避免了复杂的普通行星轮系的平行四边形输出机构和谐波传动的柔轮，因而与各类机械配套适应性强，并具有结构紧凑，传动比大，传动效率高，传动平稳、噪声小、寿命长、抗过载能力强等优点，广泛应用于轻工、纺织、运输、矿山、冶金、化工、食品等行业各种机械。

　　但由于其内齿圈的齿形曲线复杂，设计计算工作量大，相应的工装准备周期长，影响系列化、规格化的形成。国内有少数厂家生产，一般采用传统设计方法，设计工作繁琐量大、周期长，尤其是内齿圈的加工采用范成加工法，误差大，齿形曲线不精桷，造成机构运转时出现干涉、磨损，甚至烧坏、报废等现象。因此推杆活齿减速机内齿圈齿形优化方法的研究具有重要意义。

　　1内齿圈齿形曲线方程

　　在传统的内齿圈加工方法中，早期是以密切圆代替包络曲线，由于误差大，后来提出了范成加工方法。范成加工是根据活齿传动的运动原理，应用机构转化理论，演化出形成内齿圈齿形曲线的加工装置，通常是对普通机床进行改造来获得内齿圈加工的专用设备，形成内齿圈齿形的范成运动是靠机床工作台转动和刀架往复运动等的合成来实现。由于范成加工采用多个环节的机械传动方式，在实际生产中难以加工出高精度的齿形曲线。

　　推杆活齿减速机主要由激波器、活齿轮、内齿圈3个基本构件组成，其中激波器包括输入轴、偏心套和转臂轴承，活齿轮包括活齿和输出架。从推杆活齿减速机的工作原理可以看出，齿形复杂的内齿圈是其关键部件。内齿圈齿形是活齿外端高副元素的共轭曲线，运用高副低代理论，可以建立活齿传动的瞬时等效机构。由此得出外滚子中心轨迹极坐标方程为S=acos（Zk2） b2-a2sin2（Zk2） H.

　　（1）其中：S外滚子中心极径；a偏心距；b连杆长，b=R rb；R轴承外圆半径；rb滚子半径；H推杆长；Zk内齿圈齿数；1输入轴Y轴角位移；2滚子Y轴角位移。

　　外滚子轮廓族的包络线形成内齿圈曲线，用包络曲线的通用求法得齿形曲线方程为：X=Ssin-wrb/w2 1，Y=Scos rb/w2 1（2）其中：w=scos-ssinssin scos，s=dsd=-aZksin（Zk）-a2Zksin（2Zk）2b2-a2sin2（Zk）。

　　由此可知，确定内齿圈齿形曲线的特征参数是偏心距a、轴承外圆半径R、滚子半径rb、推杆长H和内齿圈齿数Zk。这5个特征参数确定后，根据以上齿形曲线方程，内齿圈的齿形曲线也就随之确定。

　　内齿圈齿形曲线特征参数的确定，传统方法是根据推杆活齿减速机的输入功率P、传动比I、输入转速N和输出转向，由经验公式计算后，定出偏心距a、轴承外圆半径R、滚子半径rb、推杆长H和内齿圈齿数Zk5个特征参数。由经验公式定出的内齿圈齿形曲线特征参数，并不一定是合理的，即使是合理的，也不一定是最优的，因而有必要对特征参数进行优化调整。

　　2活齿减速机特征参数优化

　　针对推杆活齿减速机容易出现干涉磨损、烧坏报废的现象，作者提出推杆活齿减速机系统特征参数的优化设计应满足三方面的优化目标，即：a）最大重合度、b）最小压力角、c）最佳受力条件，从而使减速机具有最优的传动性能与动力性能。

　　2.1最大重合度优化目标的实现

　　重合度表示传动机构同时参加啮合的齿对数，是表达活齿传动平稳性和承栽能力的传动性能指标，是受力分析和计算的重要参数。理论上，当齿形曲线完整无缺时，重合度为滚子数的一半，并为最大重合度。

　　内齿圈齿形曲线理论上是外滚子中心轨迹曲线的等距线，但当外滚子中心轨迹的最小曲率半径min小于或等于滚子半径rb时，在齿形曲线的齿顶（曲率半径最小处），包络结果就不可能产生等距线，而使齿顶变尖、变短，即出现顶切。当外滚子沿其中心轨迹动动到其齿根点时，，其外包络线束不在内齿圈齿形上，使滚子与内齿圈瞬时脱开，即同时参加啮合的齿对数减小，影响了活齿传动的平稳性和承载能力。因此，不产生顶切的条件是：min！rb，其中min可由外滚子运动的中心轨迹曲线方程求得。由式（1）可得出外滚子中心轨迹曲线的直角坐标方程为：X=[acos（Zk2） b2-a2sin2（Zk2） H]sin2，Y=[acos（Zk2） b2-a2sin2（Zk2） H]cls2。

　　由微分几何学可知，其相对曲率为：KrKrmax=b-aZ2kb2-ab，min=1Kymax=b2-abb-aZ2k=（R rb）2-a（R rb）（R rb）-aZ2k；。

　　由此得出避免顶切的条件为：（R rb）2-a（R rb）（R rb）-aZ2k！rb（3）可见，外滚子中心轨迹的最小曲率半径min与系统特征参数中的轴承外圆半径R、滚子半径rb、偏心距a和内齿圈齿数Zk4个特征参数有关，式（3）是一个多约束条件的关系式。在系统特征参数的优化设计中，式（3）必须成立，才能不产生顶切，满足最大重合度的优化要求。作者经过进一步的分析发现，R，rb、a和Zk4个特征参数中，以Zk对min的影响最大。当产生顶切时，一般Zk>30，此时min<rb成立。

　　系统特征参数中的Zk是用户根据机器性能提出的传动(我国齿轮传动制造业现状分析)比要求，是确定不变的，轴承外半径R需满足强度要求，一般也不变。因此最大重合度优化目标的实现方法是通过改变a和rb去消除顶切。考虑结构因素，同时减小rb和a的方案比上述两种方案显然要恰当些，根据式（3）可找出临界条件时，rb和a的关系为：a=（R rb）2 （R rb）rb（R rb） rbZ2k由于根据设计标准的要求，rb和a的取值只能是离散减小的，故满足此条件的rb和a为有限组数，即此时可以获得多对（rb，a）参数，由于不出现顶切干涉，因此它们都满足最大重合度的优化要求。

　　2.2最小压力角优化目标的实现

　　在以上通过减小（rb，a），可以找到消除顶切的多组（rb，a），现再以传动中齿廓曲线压力角最小作为优化目标，对多组（rb，a）进行优化选择。

　　齿廓曲线的压力角是啮合点法线与从动件中力作用点的速度方向所夹的锐角，压力角是评价齿廓受力状态的重要参数。压力角越大，运动表面相对滑动造成的摩擦越大，使推杆移动副受力状态恶劣，大大降低动动效率；压力角越小，则活齿齿轮副的传动性能愈好，传动效率越高。压力角的计算公式为：tan=d（sccos2）d（scsin2）=Zksin（Zk2）cos2 （b/a）2-sin2（Zk2）sin2Zksin（Zk2）sin2 （b/a）2-sin2（Zk2）cos2（4）欲使压力角减小，则需考虑各个参数对的影响。对于某一位置2的压力角，在R和Zk已定的情况下，只有rb和a对有影响。因上这公式比较复杂，作者利用计算机技术绘制出不同的rb和a对的影响曲线，结果发现，当a和rb增大，将随之减小，rb的变化对的影响不大，而a的变化对的影响较明显。因此，最小压力角的优化目标，主要通过增大偏心距a来实现。

　　2.3最佳受力条件优化目标的实现在满足顶切临界条件的多组（rb，a）中，为减小压力角提高传动效率，自然会选择较大的偏心距a和滚子半径rb，这时需要考虑的第3个优化目标是使推杆活齿在传动中受力状况最佳。

　　活齿滚子与内齿圈在啮合过程中是多齿接触，它们之间的载荷较复杂。推杆活齿在传动中受3种力的作用：FQ内齿圈作用于推杆活齿的力，其作用方向沿啮合点的公法线方向；FP激波器作用于推杆活齿的力，其作用方向沿偏心轮与滚子接触点的法向：F1、F2活齿架径向导槽作用于推杆活齿的力，其作用方向与径向导槽移动副的摩擦磨损有关。以推杆活齿为受力对象，为便于分析，将推杆活齿作质点处理，假设零件之间无间隙存在，摩擦力、惯性力、自重忽略不计，可列出如下的力平衡方程X=0，FPsin（ 1） FQsin（？-3）-（F1-F2）=0

　　Y=0，FPcos（ 1） FQcos（？-3）-（F1 F2）f2=0；

　　MB=0，F1（LC-LD）-F2（LA LC-LD）=0.

　　由此可以得出驱动力FP和载荷FQ的关系方程为：FP=Fq[（k-1）cos（？-3） （k 1）F2sin（-3）]（k-1）cos（ ）1-（k 1）f2sin（ 1），k=（LA LC LD）/（LC-LD）。

　　（5）其中分别为Fp、FQ的工作角；1、2、3分别为激波器与滚子、输出架与推杆、滚子与内齿圈间的摩擦角；LA、LC、LD分别为推杆活齿外伸长度、活齿导槽长度、推杆活齿所受三力汇交点到推杆活齿外端面的垂直距离；k为表征推杆活齿移动副各部分尺寸关系的尺度系数。

　　由上式可知，当外载荷FQ一定时，尺度系数k越大，所需驱动力FP越小，为此在满足传动性能要求的前提下，应使尺度系数k尽可能大。由k与LA、LC、LD的关系可知，增大k有三种途径：减小LA、增大LC和LD。由于增大LC和LD意味着要增大推杆长度H，导致减速机的径向尺寸增大，这一般不为用户所接受，故只有减小LA才是可行的。

　　推杆活齿在工作结束位置和工作开始位置时，推杆活齿外伸长度LA分别具有最大值和最小值，得：LAmax=2a M-rb，LAmin=M-rb其中M为内齿圈齿顶与活齿架外圆间的径向距离，M一般取12mm，减小LA可至LAmin=0，由此得rb=2a M，于是得出推杆活齿移动副受力最佳条件为rb=2a M.

　　3内齿圈齿形优化方法的实际应用

　　在上述推杆活齿减速机数学模型的基础上，作者建立了推杆活齿减速机的CAD/CAM系统。该系统的功能模块框图如所示。

　　其中设计优化模块的参数设计包含3种方式：系列选择、自行输入、自定参数。无论采用那种方式设计，其参数都可以进行优化，最后获得确定内齿圈齿形曲线的5个优化特征参数即偏心距a、轴承外圆半径R、滚子半径rb、推杆长H和内齿圈齿数Zk。

　　仿真分析模块主要是用于模拟推杆活齿减速机的机构运动，动态显示传动过程中激波器、活齿轮、内齿圈3个基本构件的啮合传动过程，校验干涉现象，绘制齿形曲线，对推杆活齿减速机的运动特性、动力特性进行分析等。

　　生成代码模块主要是用于设定内齿圈齿形加工的工艺参数，生成相应的数控加工代码，并进行加工仿真等。

　　加工通讯模块用于设置通讯参数，向数控机床的控制系统传送数控代码。

　　文件管理模块用于打印设计结果所生成的ASCII码文本文件，并生成可与TOPCAD或AUTOCAD相交换的图形文件，从而绘制出设计图形。

　　推杆活齿减速机CAD/CAM系统功能模块为了验证上述CAD/CAM系统的正确性，作者从工厂取回了某种型号的推杆活齿减速机的内齿圈样品，该样品已用范成法进行了铣削加工，尚未进行热处理及磨削。工厂生产该型号的推杆活齿减速机时，设计所采用的基本参数如下：减速机功率P：2.2kW传动比I：12输入转速N：1450r/min输出转向：同向偏心距a：3.5mm轴承外半径R：40mm滚子半径rb：7mm推杆长H：22mm内齿圈齿数Zk：11工厂样品齿形曲线与CAD/CAM系统所生成齿形曲线的比较利用我校五山校区CAM中心的数控仿形系统，读取其内齿圈的齿形曲线。同时作者将工厂提供的设计参数输入上述CAD/CAM系统，先不对参数进行优化，直接进行计算并生成内齿圈的齿形曲线。将样品曲线与系统生成曲线进行比较，结果如所示。

　　可以看出，工厂样品的内齿圈齿形曲线与CAD/CAM系统所生成的内齿圈齿形曲线是完全吻合的。由于CAD/CAM系统生成的是内齿圈成品的精确齿形曲线，而工厂样品尚未进行热处理及磨削，因此，两曲线之差即为考虑磨削加工时所留的加工余量。这表明应用作者开发的推杆活齿减速机CAD/CAM系统所设计出的内齿圈齿形曲线，与工厂生产实际中的齿形曲线是一致的。

　　作为上述优化方法的进一步应用，作者又将工厂提供的设计参数输入上述CAD/CAM系统后，对之进行参数优化。首先发现该套参数存在顶切问题，并不是一套优化了的设计参数。校核计算的结果是，其外滚子中心轨迹的最小曲率半径为5.43mm，小于滚子半径7mm，因而不满足最大重合度的优化要求。作者利用CAD/CAM系统对之进行优化计算后，获得的一套优化设优化前、后齿形曲线的比较减速机功率P：2.2kW传动比I：12输入转速N：1450r/min输出转向：同向偏心距a：2.75mm轴承外半径R：40mm滚子半径rb：7mm推杆长H：21mm内齿图齿数Zk：11可以看出，CAD/CAM系统在优化过程中对偏心距a、推杆长H等进行了调整。优化设计后，外滚子中心轨迹的最小曲率半径为7.28mm，小于滚子半径7mm，既消除了顶切问题的产生，又满足了最大重合度的优化要求，同时满足推杆活齿移动副受力最佳条件：rb=2a M，M=12mm的要求。将优化前、后的内齿圈齿形曲线进行比较，结果如所示。

　　4结束语

　　推杆活齿减速机是一种新型的少齿差行星传动装置，广泛应用于轻工、纺织、运输、矿山、冶金、化工、食品等行业各种机械。由于其内齿圈的齿形曲线复杂，采用传统的经验公式进行设计和加工，难免造成机构运转时出现干涉、磨损，甚至烧坏、报废等现象。

　　为此作者提出了满足最大重合度、最小压力角、最佳受力条件的齿形优化设计方法。即设计参数应首先满足顶切临界条件，此时可以获得多对（rb，a）参数，由于不出现顶切干涉，因此它们都满足最大重合度的优化要求。其次，为减小压力角，改善受力条件，提高传动效率，可对偏心距a进行适当调整，使之在满足上述条件的同时满足推杆活齿移动副受力最佳条件：rb=2a-M，M=12mm.从中获得最优的偏心距a、滚子半径rb来进行内齿圈齿形曲线的优化设计。

　　并结合工厂的生产实际问题进行了实际的应用，结果表明，应用所提出的优化方法取得了满意的优化设计结果。